4.11. О математике

Деятельность, устанавливая границы в «неоднородной» материи, выделяет объекты. В деятельности существенно, что приходится принимать решения «да» или «нет» соответственно наличию «хорошо» или «плохо» в ощущениях. Отсюда границы, целое, объекты, классы объектов. Границы, их перебор, последовательность, упорядочение, счет - порождение и средство деятельности. Чистая математика изучает возможности и результаты в принципе произвольной модельной деятельности с произвольным модельным материалом а также разрабатывает модельные свойства потенциально возможного материала. Последнее производится в терминах, свойственных деятельности, т.е. с помощью сравнения и учета результатов сравнения, границ, объектов, перечисления объектов, условий и порядка включения объектов в те или иные классы, - поскольку в деятельности свойства материала могут быть указаны только по результатам работы с ним в определенных условиях. 

Деятельность обязательно характеризуется некоторыми необходимыми моментами, среди которых основной - отделение «одного» от «другого» на основе применения некоторой меры при необходимости принятия решения - ощущение имеет не много смысла без ответных действий. Еще один момент - непротиворечивость, что связано с жесткой однозначностью при принятии решения: или «да», или «нет». В деятельности осуществляется абсолютно жесткая связь действия «да - нет» с полученными «данными» «хорошо - плохо». Обстоятельства всегда вызывают определенный отклик. По одному и тому же четко поставленному вопросу, адекватно отражающему условия (материал и характер деятельности) и выясняющему, получится или нет такой-то результат, «да» и «нет» одновременно невозможны. Описать реальный неисчерпаемый материал исчерпывающим образом, конечно, нельзя. Однако в реальности отклик «хорошо» или «плохо» - и только один из них - объективно обусловленным образом вырабатывается при воздействии на живое неисчерпаемо сложного материала всегда (кроме случаев разрушения живого, что тоже можно отнести к разряду «плохо»). Итак, ответ должен быть определенным. Границы и непротиворечивость появляются одновременно. Соответствующая логика, разумеется, двузначная: или по одну сторону границы, или по другую, третьего не может быть. Принципы деятельности, связанные с применением меры, установлением границ, отнесением состояний по ту или иную сторону границы и т.д., едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика - сама по себе - в разных мирах - одна и та же. В связи с разными условиями, опытом и историей в этих мирах неизбежно будут разными общий уровень математических разработок и области интереса, но математики разных миров в принципе смогут понять друг друга. Более того, и предыдущее отсюда следует, вся математика потенциально однозначно определена, т.е. как бы вся уже существует в потенции: для любого вида модельного материала и каждого способа работы с ним верный результат не зависит от конкретного математика, который «только» обнаруживает его в математическом мире. Ясно также, что при математической имитации деятельности возникает именно формальная логика, а не диалектическая. Для обязательности получения определенного результата в модельной имитации деятельности (обязательность соответствует неизбежности выработки состояния «хорошо» или «плохо» в результате взаимодействия субъекта со средой) необходима полная определенность имитационной схемы - замкнутость системы свойств материала и способов действия, чтобы критерий выбора решения срабатывал обязательно. Поэтому у модельной среды не должно быть состояний, безразличных для критерия, на которые он просто не реагирует. Следовательно, в идеале математики, к которому стремятся, требуя полной замкнутости и непротиворечивости схем, ни о какой неисчерпаемости свойств среды, превосходящей мощь критерия, не может быть речи. По-видимому, причина принципиальных трудностей при построении некоторых разделов математики (например, дифференцирования) заключалась в попытках слишком узкими формальными средствами («логически») оперировать с не вполне поддающимся им, в каком-то смысле неисчерпаемым материалом. На примере дифференцирования ясно видно, что трудности возникали каждый раз, как только расширялся класс объектов, которые по-прежнему продолжали называть функциями, или когда повышали требования к строгости обоснования дифференцирования, что в действительности означало распространение процедуры дифференцирования на функции более широкого класса. Напрасны надежды разработать универсальный аппарат, способный однозначно обрабатывать любые предъявляемые ему объекты, хотя бы и определимые в данной схеме. В формальной схеме невозможно решить, есть бог или нет, что раньше, курица или яйцо, или кто виноват, правительство или избравший его народ. Можно сказать, для формальной логики пресловутое третье - это диалектика, выясняющая различные степени важности разных причин и связей. В математике же теоремы по степени точности не различаются.

Итак, математика изучает принципы и результаты деятельности вообще, как бы вырабатывая заготовки для описания реальной деятельности и ее результатов, и в этом заключается один из источников ее универсальности. Уместные применения математики для «не совсем той» деятельности на «не совсем том» материале возможны, поскольку в связи с относительной устойчивостью ощущений приемлемы не абсолютно точные результаты. Это второй источник универсальности математики. Если бы в приложениях требовался абсолютно точный результат, то математика не только не оказывалась бы универсальной, но и вообще никогда не была бы чему-либо адекватной и полезной, исключая случай абсолютно точной естественной модели (описывающей тогда всю реальность вместе со всеми «начальными условиями») и соответствующей исчерпывающей математики, что, разумеется, нереально. Именно в верном отражении общих аспектов деятельности, в удовлетворительности приближенных результатов а также в общей, так сказать, причинности материального мира и заключается (не совсем, конечно, понимаемый) источник «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (Е.Вигнер /79/). Приложения математики, имитирующей деятельность и предсказывающей на моделях ее результаты, успешны в той же мере, в какой может быть успешной сама деятельность. Если кто-нибудь понимает, почему мы уверены, что, ударяя молотком, мы можем забить гвоздь, он может считать, что отсюда очень недалеко и до понимания причин эффективности математики.



 
2007-2017. © В.Б. Губин - собрание книг автора.
Для связи с администрацией используйте форму обратной связи