О природе максвелловского распределения

О ПРИРОДЕ МАКСВЕЛЛОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 

Равномерное, не зависящее от координат распределение больцмановских частиц (с короткодействующими потенциалами, занимающих малую долю предоставленного объема) по объему довольно ясно и понятно. Происхождение же и суть максвеллов­ского распределения частиц по скоростям (или импульсного рас­пределения) интуитивно намного менее ясно. Обычное требование мультипликативности распределения для более полной системы по отношению к распределениям подсистем, приводящее к известной экспоненциальной зависимости, выглядит феноменологическим и не вскрывает микроскопической природы распределения. К тому же для изолированных систем с конечным числом частиц примени­мость этого требования, как и самого максвелловского распределе­ния, явно ограничена, так как в этом случае энергия частиц не может оказываться сколь угодно большой, что допускается экспо­ненциальным распределением. В этом случае строгая аддитивность систем в отношении неизменности распределений по скоростям очевидно отсутствует, поскольку при объединении систем допустимый предел для энергий частиц увеличивается. В [1] было предложено (а затем воспроизведено в [2,3]) микроскопическое рассмотрение задачи, значительно проясняющее ситуацию.

В изолированной системе частиц с массами mi импульсы n степеней свободы движутся по энергетической поверхности

. (1)

Предположим, по аналогии с канонически сопряженными координатами, что на этой поверхности нет выделенных областей, и она равномерно зачерчивается импульсной траекторией. Тогда некоторое значение pi будет встречаться с частотой, пропор­циональной величине сечения поверхности (1) (гипер)плоскостью pi = p. То есть плотность fn(pi) для одной переменной pi , возникающая как плотность вероятности для «вытаскивания» «сте­пеней свободы» по одной с возвращением в систему для повторных наблюдений, получается интегрированием на этой поверхности по импульсам всех остальных (n - 1) степеней свободы. Рассмотрим один первый n-мерный квадрант и положим mi =m и 2m=1. Тогда

Последний интеграл равен единице, поскольку p2 равно корню из {E' - (p1)2}, где E' - энергия, остающаяся на долю p1 и p2, и указанные пределы интегрирования включают эту точку. d-функ­ция формально это описывает. При n=2 каждому значению p1 соответствует только по одному значению p2, в то время как при большем числе переменных разные значения p1 имеют различные веса. Для n=3 f3(p) ~ (E - p2)1/2, для n = 4 f4(p) ~ (E - p2). Каждый последующий интеграл добавляет по 1/2 к степени этой скобки, содержащей всю зависимость от p. В общем случае

fn(p) = = .

(В прежних публикациях вместо (n-2) в показателе ошибочно писалось (n-3).) Здесь определено E*ºE/n - средняя энергия на сте­пень свободы. При n ® ¥ получаем экспоненту, и при определе­нии E*ºkT/2 и восстановлении массы в записи энергии получаем

.

Разумеется, неточные наблюдения на практике могут не позволить отличить распределение для конечной системы от максвелловской экспоненты.

Для одновременного обнаружения j степеней свободы

При n ® ¥ и j/n ® 0 многочастичные функции становятся произведениями одночастичных.

В ультрарелятивистском пределе одночастичная плотность

при n ® ¥ и E*ºkT также переходит в экспоненту exp(-pc/kT).

В случае неравных масс уравнение (1) описывает поверх­ность n-мерного эллипсоида. Его сечение плоскостью p1=p есть

Поделим на r2, что есть просто масштабное преобразование:

При n=3 это эллипс, при n=4 это поверхность трехмерного эллипсоида и т.д. Площадь поверхности (n-1)-мерного эллипсоида (для двумерного эллипса это длина) пропорциональна (n-2)-й степени линейных размеров, так что искомая одночастичная плотность вероятности пропорциональна rn-2

и при определении E*ºkT/2 и n ® ¥ переходит в обычную экспоненту, дающую равнораспределение энергии по частицам
с любыми массами.

Можно было бы подумать, что условие E=SEi , записанное в (1), уже само всегда приводит к равнораспределению энергии по частицам. Однако требование равномерного заполнения импульс­ной поверхности дает равнораспределение энергии только в случае однородной зависимости энергии от импульса у всех частиц. В релятивистском случае среднее по максвелловскому распределению exp(-Ei/kT) получается равным kT от величины (Ei - mi2c4/Ei), кото­рая равна pi2/mi в нерелятивистском пределе и pic в ультрареляти­вистском, что дает равенство давлений частиц разных масс (см. [2], гл. 2, § 1, п. 8). Тут есть неясность (неуверенность) как с выводом распределения в общем случае, так и с распределением энергии по разным частицам в системе в термостате с заданной температурой.

Литература

[1] Губин В.Б. О термодинамическом контроле над системой. - Деп. ВИНИТИ № 3-75. 1975 г. 38 с.

[2] Губин В.Б. Физические модели и реальность. Проблема согласо­вания термодинамики и механики. - Алматы: «Рауан», 1993.

[3] Губин В.Б. О проблеме согласования термодинамики и механики / Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы». Вып. II. - М.: Книжный дом «Университет». 2001 г. С. 177-192. (Перепечатано в сб.: Губин В.Б. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС, 2003. С. 8-31.)

 
2007-2017. © В.Б. Губин - собрание книг автора.
Для связи с администрацией используйте форму обратной связи