Энтропия как характеристика управляющих действий

 

Управление микросистемой с помощью медленных движений стенок может быть адекватно отражено введением параметров объема и давления.

Определим мгновенное значение давления частиц с массами mi и импульсами pi=mivi на стенку (на конец отрезка (0,L)):

Здесь dI - импульс, передаваемый стенке за время dt. Среднее за Dt давление

где N - число частиц, ni - число ударов i-й частицы о стенку за время от t до Dt. Величина P(Dt) зависит от положения интервала Dt на временной оси. Однозначно же зависящим, как и E, от L при медленных изменениях объема является не зависящий от t предел

(3)

Такое «стационарное» давление может быть измерено с любой необходимой точностью и в процессе адиабатически медленного движения стенок. При быстрых движениях стенок этого сделать нельзя, т.е. величина (3) не может быть использована для описания быстрого процесса. Таким образом, использование однозначного давления в качестве параметра, адекватно описывающего воздействия на газ в машине. означает, что движения поршня медленные и, следовательно, ей нужен холодильник.

Из уравнений (1) и (3) получаем

P dL = -dE , (4)

т.е. в адиабатическом пределе (и только) давление P оказывается обобщенной силой, сопряженной обобщенной координате L (именно при этом и возникает термодинамиче­ское описание). Из (2) и (3) получаем одномерный аналог адиабаты Пуассона

PL3 = const. (5)

Эту адиабату, очевидно, можно отождествить (с коррекцией на одномерность) с адиабатой феноменологической термоди­намики.

Итак, при адиабатически медленных изменениях объема при любом число частиц описание макропроцесса с помощью макропараметров замкнуто: для однозначного описания макропроцесса можно пользоваться однозначно определяемыми, не флуктуирующими макровеличинами, необходимости в обращении к микропеременным нет. Для возникновения этого описания ни термодинамический предел, ни эргодичность не требуются.

В то же время рассматриваемый контроль над системой не однозначен в микроскопическом смысле. В этом случае за временем не следят, движения поршня одинаковы независимо от микроусловий, управление микросистемой грубое, что и не позволяет работать без холодильника. Эту неточность контроля можно оценить непосредственно.

Рассмотрим случай одной частицы. Давление , будучи пределом, не измеряемо (не является действительно наблюдаемой, однозначное давление является наблюдаемой только в схеме безвременной термодинамики (термостатики), которая есть лишь некоторая идеализация даже нашей модельной реальности), измеряемо P(Dt). В соответствии с отсутствием специального выбора времен­ного характера движения поршня положение интервала Dt не привязывается к выделенным моментам движения частицы. В зависимости же от положения интервала Dt числа ударов частицы о стенку за Dt могут отличаться на единицу (рис. 3), тогда обнаруживаемые давления могут отличаться на

Рис. 3.

Если мы захотим с помощью наблюдаемых L и P(Dt) найти энергию микросистемы по уравнениям типа

(где nмин./Dt £ £ 2р(nмин.+1)/Dt), то будем определять энергию с неточностью DЕ, обратно пропорцио­нальной Dt:

D º DE Dt ~ Lp.

Подчеркнем, что у самой частицы никакого разброса энергий нет.

Итак, контроль над микросистемой, осуществляемый путем оперирования объемом и давлением, имеет характер­ную ненулевую неточность, имеющую размерность действия, в то время как детерминистской механикой, принятой в нашей модели, в принципе допускается контроль, способный сколь угодно точно «сопровождать» в фазовом пространстве траекторию микросистемы. Величину D можно связать с энтропией.

Заметим, что и при одной частице можно поставить задачу: за счет энергии частицы получить работу с помощью циклического изменения объема. Все сказанное выше останется справедливым. Напишем выражение для энтропии в этом случае при одномерном движении. Имея макро­переменные объем и давление, можно написать для энтропии феноменологическую величину, но нам надо получить статистическое выражение.

Неточность в действии D характеризует грубость контроля над микросистемой с помощью макропараметров, ограничивающую результат манипуляций с газом. Энтропия в феноменологической термодинамике также связывается с некоторой трудностью в получении работы за счет имеющейся тепловой энергии. Кроме того, в разных точках адиабаты величина

D = Lp = L(PLm)1/2

в силу (5) сохраняется (D взято равным Lp, так как константа пропорциональности здесь несущественна): Lp есть адиабатический инвариант [4]. Так как на адиабате сохраняется и энтропия, должно быть =(D). Выбирая обычный вид, можем записать

= k ln Lp -0,

где0 - начало отсчета. В классическом случае можно пользоваться только разностью значений энтропии в различных состояниях.

Итак, энтропия и соответственно термодинамическая температура

оказываются характеристиками неточности контроля над микросистемой в термодинамике. Тепловая энергия - это не энергия хаотического движения, которое не может быть определено, а в некотором смысле плохо контролируемая энергия.



 
2007-2017. © В.Б. Губин - собрание книг автора.
Для связи с администрацией используйте форму обратной связи