Энтропия как характеристика управляющих действий

 

Предположим, что частица в каждой точке адиабаты имеет контакт с термостатом, вызывающим флуктуации ее энергии, но оставляющим ту же среднюю энергию (в каждой точке адиабаты), что и энергия частицы без термостата. Соответственно при каждом L давление P не будет меняться по сравнению со случаем частицы без термостата. В таком случае системы с термостатом и без него эквивалентны в отношении совпадения макронаблюдаемых, макропроцессов и результатов работы с системами с помощью макропара­метров (заметим, что в феноменологической термодинамике системы не различаются по распределениям). Следовательно, контроль над частицами в этих двух системах эффективно одинаков. Тогда макропеременные системы в термостате, в том числе и характеристическую неточность D, можно приравнять макропеременным эквивалентной изолированной системы:

D = Lpэфф. = L(2mE)1/2 = L(mPL)1/2,

= k ln Lpэфф. -0,

где E - средняя энергия частицы, в частном случае изолированной системы равная ее точной энергии; рэфф. имеет смысл эффективного, характеристического импульса.

Таким образом, энтропия и термодинамическая тем­пература могут быть введены и без термостата и с термо­статом любой мощности. Требования к импульсным распределениям - самые слабые, в частности распределения могут быть дискретными, что снимает принципиальную трудность стандартного подхода. Вся вероятность, порож­дающая статистику, происходит от нескоррелированности внешних воздействий с состоянием микросистемы как в случае системы в термостате, так и в случае изолированной системы.

Для построения выражения для энтропии в общем случае N>1 поступим аналогично предыдущему.

Система с N точечными частицами с массами mi и средней суммарной энергией Е в объеме L на адиабате во «внешних», макроскопических, проявлениях ведет себя так же, как и система, образованная из приставленных стенками друг к другу систем с объемами L/N, в которых по одной размещены частицы с энергиями E/N. Энтропия системы с перегородками по обычным правилам равна сумме энтропий отдельных элементарных систем, тогда и энтропия системы без перегородок (безразлично, изолированная или в термостате) есть

(6)

где pj = (2mjE/N)1/2 = (mjPL/N)1/2 - импульсы частиц элементарных систем, т.е. лишь характеристические импульсы, не обязанные совпадать с действительными импульсами частиц реальной системы. Энтропия (6) точно аддитивна и не испытывает скачка при плавном переходе от нетождественных частиц к тождественным.

Подчеркнем, что введенная здесь энтропия относится только к описанию работы тепловой машины, соответствует феноменологической, введенной Клаузиусом, и не примени­ма к описанию неравновесных систем.

Если энергия - однородная функция импульса, одина­ковая для всех частиц (а только при этом условии системы с перегородками и без них эффективно одинаковы, а значит энтропия точно аддитивна и, следовательно, можно ввести единую термодинамическую температуру)

то независимо от действительного распределения энергии по частицам

Рассмотрим теперь вопрос о необратимости.

В настоящем подходе энтропия, являющаяся характе­ристикой точности контроля над микросистемой с помощью макропараметров, при неизменном контроле не меняется со временем (скажем, из-за движения микросистемы). При изменении точности контроля можно перейти к состоянию с другим значением энтропии.

Для получения полезной работы за цикл надо возвращаться по более низкой адиабате (рис. 2). На этапе перехода на другую адиабату точность контроля меняется. Будем считать, что контакт между двумя системами (цилиндр и холодильник) с одинаковыми плотностями частиц и с разными температурами устанавливается и прекращается путем убирания и восстановления перегородки между ними.

При убирании перегородки результирующее макросо­стояние достигается однозначно независимо от конкретного положения микросистемы в момент убирания перегородки. Для связи старых и новых значений макропараметров могут быть просто написаны уравнения, не включающие микро­переменных.

Теперь вместо двух систем с разными температурами T1 и T2 есть одна система с промежуточной температурой T:

,

где N1, и N2 - числа частиц в первоначальных системах. Всегда, без всяких флуктуаций,

max {T1,T2} ³ T ³ min {T1,T2},

S ³ S1 + S2.

Никакое реальное установление равновесия, тем более окончательное, не является необходимым для перехода к состоянию с этой промежуточной температурой. При контакте систем с различающимися температурами контроль обязательно ухудшается.



 
2007-2017. © В.Б. Губин - собрание книг автора.
Для связи с администрацией используйте форму обратной связи