Об отношении математики к реальности

О месте математики в науках о реальном мире

С другой стороны, ученые, исследующие природу, не понимая достаточно отчетливо места математики в развитии своей науки, тоже, бывает, не слишком правильно относятся к математике, используя ее не всегда уместно, точнее - ошибочно опираясь на нее тогда, когда надо опираться на конкретную научную теорию или на опыт. Автор этой заметки в свое время с удивлением обнаружил, что несколько групп ведущих в своей области ученых строили модели объектов, смешивая реальный объект с его аппроксимацией, которая, конечно, слишком проста для выдачи обоснованных предсказаний во всем спектре свойств объекта и не обеспечи­вает законности слишком смелых экстраполяций.

Другой пример многолетних заблуждений обнаружил­ся в области, где работали одни из самых квалифицирован­ных теоретиков. Это было математическое «доказательство» теоремы Гиббса об энтропии смеси газов разных сортов. В процедуре доказательства дифференциал энтропии разбивали на сумму дифференциалов соответственно парциальным давлениям отдельных газов в исходном объеме [14]. Ну и соответственно получали, что энтропия смеси в данном объеме равна сумме энтропий разных составляющих газов по отдельности, помещенных каждый в свой объем, равный полному исходному.

Вообще-то явно чувствуется, что ответ откровенно неверен. Так, если бы все частицы были различными, то пришлось бы суммировать слишком уж много систем, которые заняли бы место размером побольше самой Земли. В нормальной термодинамике такая модель кажется чрезвычай­но странной. Однако почтение перед математикой подавляет сомнения и заставляет закрывать глаза на эту несообраз­ность. Однако (скажем еще раз) ошибка здесь не матема­тическая, а методологическая, потому что использованное здесь прямолинейное применение математического равенства в данном случае не обоснованно. Приравнять что-то в физическом выводе можно, лишь если физика доказала, что нечто в левой части правильно моделируется тем, что пишут в правой части. Показать это - дело не математики, а физики. И если физика желает выяснить, можно это делать или нет, то она это должна делать сама, а не спрашивать математику. И лишь после одобрения физикой следовало приравнивать дифференциал сумме «парциальных» дифференциалов. А тут поступали как раз наоборот, и исходное арифметическое приравнивание одного дифференциала сумме «парциальных» должно означать в этом случае взятие за исходное положение того, что получают в качестве вывода.

В действительности в той термодинамике, для которой намеревались доказать теорему, парциальные давления, наводящие на мысль разбить дифференциал на части, вообще не являются наблюдаемыми. При наличии в качестве измерительного прибора поверхности только одно­го объема наблюдаемым является только полное давление в нем. Это мы и механика знаем, что газы разные, но в обычной работе с газами, результаты которой порождают представление об обычной термодинамике, это никак не используется, и разносортность газов скрывается одной и той же макроскопической динамикой - зависимостью давления при данном объеме только от полной энергии, но не от вида газа. Так что не было никакого основания записывать исходное равенство. Описанное доказательство есть чистая тавтология.

В книге [15] только что изложенное «доказательство» дублируется аналогичным «физическим», основанным на разделении смеси газов с помощью полупроницаемых пере­городок на несколько объемов, равных каждый по величине исходному, с отдельными газами. И здесь совершается аналогичная методологическая ошибка: в той же обычной термодинамике нет полупроницаемых стенок, поэтому доказательство к ней не относится.

В общем можно сказать, что в тандеме математики и некоторой частной науки о мире ведущей является именно та конкретная наука, а не математика, которая должна выступать как служанка науки о реальном мире. Возможно, эта служанка может замечательно умыть, причесать и затянуть в корсет свою госпожу, но все же никогда не должна становиться всевластной хозяйкой, чтобы самой золотой рыбке не пришлось стать Золушкой.